Question

【題目】設函數．

（1）當m=6時，求函數的極值;

（2）若關于x的方程在區間[1，4]上有兩個實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值，極大值；（2）．

【解析】

（1）求出函數的定義域以及導函數，根據單調性求解出函數的極值；

（2）關于x的方程可化簡為，問題轉化為直線與函數有兩個交點，通過研究函數的圖像即可得到答案.

（1）依題意知的定義域為，

當時，，

∴，

令，解得或.

則當或，，單調遞增；

當，，單調遞減．

∴所以當時，函數取得極小值，且極小值為，

當時，函數取得極大值，且極大值為．

（2）由，可得，

又，所以，即．

令，則，

由，得；由，得，

∴ 在區間上是增函數，在區間上是減函數．

∴當時函數有最大值，且最大值為，

又，，

∴ 當時，方程在區間上有兩個實數解．

即實數m的取值范圍為．