Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若關于x的方程f2（x）ex﹣6mf（x）+9me﹣x=0在區間[1，+∞）有唯一的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣ = ，（x＞0）， 所以，當0＜x＜ 時，f′（x）＜0，當x＞ 時，f′（x）＞0，
故f（x）min=f（ ）= ﹣ ln ，
由題意可得： ﹣ ln =1，即 ﹣ ln ﹣1=0，
記g（a）= ﹣ ln ﹣1，（a＞0），
則函數g（a）的零點即為方程 ﹣ ln =1的根；
由于g′（a）=﹣ ln ，故a=2時，g′（2）=0，
且0＜a＜2時，g′（a）＞0，a＞2時，g′（a）＜0，
所以a=2是函數g（a）的唯一極大值點，
所以g（a）≤g（2），又g（2）=0，
所以a=2．
（II）由條件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）ex+9m=0，
令g（x）=f（x）ex=（x2﹣2lnx）ex ，
則g′（x）=（x2+2x﹣ ﹣2lnx）ex ，
令r（x）=x2+2x﹣ ﹣2lnx（x≥1），
則 ，
r（x）在區間[1，+∞）內單調遞增，
∴g（x）≥g（1）=e；
所以原問題等價于方程t2﹣6mt+9m=0在區間[e，+∞）內有唯一解，
當△=0時可得m=0或m=1，經檢驗m=1滿足條件，
當△＞0時可得m＜0或m＞1，
所以e2﹣6me+9m≤0，解之得：m≥ ，
綜上，m的取值范圍是{m|m=1或m≥ }
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出f（x）的最小值，問題轉化為 ﹣ ln ﹣1=0，記g（a）= ﹣ ln ﹣1，（a＞0），根據函數的單調性求出a的值即可；（Ⅱ）由條件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）ex+9m=0，令g（x）=f（x）ex=（x2﹣2lnx）ex ， 原問題等價于方程t2﹣6mt+9m=0在區間[e，+∞）內有唯一解，通過討論△的符號，求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．