Question

下面是關于三棱錐的四個命題：
①底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．
④側棱與底面所成的角相等，且側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
其中，真命題的編號是    ．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

【答案】分析：根據正三棱錐的定義，結合二面角判斷①的正誤；側棱與底面所成的角判斷④的正誤；找出反例否定②，找出反例對選項③否定可得正確結論．
解答：解：①底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
可推出底面中心等于是棱錐頂點在底面的射影，所以是正確的．
②顯然不對，比如三條側棱中僅有一條不與底面邊長相等的情況，側面都是等腰三角形的三棱錐但不是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側面的面積都相等，說明頂點到底面三邊的距離（斜高）相等，
根據射影長的關系，可以得到頂點在底面的射影（垂足）到底面三邊所在直線的距離也相等，
由于在底面所在的平面內，到底面三邊所在直線的距離相等的點有4個：內心（本題的中心）1個、旁心3個，
因此不能保證三棱錐是正三棱錐．
④側棱與底面所成的角相等，且側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．是正確的．
故答案為：①④
點評：本題考查棱錐的結構特征，二面角及其度量，考查作圖能力，是基礎題．