Question

奇函數f（x）在R上為減函數，若對任意的實數x，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，則實數k的取值范圍為

（-2

2

-1，2

2

-1）

．

Answer 1

分析：由題設知kx＜x²-x+2，故x²-（1+k）x+2＞0，由y=x²-（1+k）x+2開口向上，知要使x²-（1+k）x+2＞0，只需△=[-（1+k）]²-8＜0，即k²+2k-7＜0，由此能求出實數k的取值范圍．

解答：解：∵奇函數f（x）在R上為減函數，
若對任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x²+x-2）＞0恒成立，
∴f（kx）＞-f（-x²+x-2）
∴f（kx）＞f（x²-x+2）
∴kx＜x²-x+2
∴x²-（1+k）x+2＞0，
∵y=x²-（1+k）x+2開口向上，
∴要使x²-（1+k）x+2＞0恒成立，
只需△=[-（1+k）]²-8＜0，
整理，得k²+2k-7＜0，
解得-2

2

-1＜k＜2

2

-1．
∴實數k的取值范圍是（-2

2

-1，2

2

-1）．
故答案為：（-2

2

-1，2

2

-1）．

點評：本題考查函數恒成立問題的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．