Question

【題目】國慶期間，一位游客來到某旅游城市，這里有甲、乙、丙三個著名的旅游景點，若這位游客游覽這三個景點的概率分別是，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值.

（Ⅰ）求的分布列和數學期望；

（Ⅱ）記“時，不等式恒成立”為事件，求事件發生的概率.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（I）用表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值，根據客人游覽的景點數的可能取值為和客人沒有游覽的景點數的可能取值為，寫出變量的可能取值，根據相互獨立事件同時發生的概率，求解每個隨機變量取值對應的概率，得出分布列，求得數學期望.

（Ⅱ）由不等式恒成立，有恒成立，分和討論，即可得到答案.

（I）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點”為事件 由已知相互獨立， ,客人游覽的景點數的可能取值為. 相應地，客人沒有游覽的景點數的可能取

值為，所以的可能取值為.

所以的分布列為

	1	3
P	0.76	0.24

1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）的可能取值為1，3.且時，不等式恒成立，

有恒成立，即

當=1時，不等式恒成立，

當=3時，不等式不會恒成立.

所以.