Question

（Ⅰ）已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）設a₁，b₁（k=1，2…，n）均為正數，證明：
（1）若a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，則a1b1a2b2…anbn≤1；
（2）若b₁+b₂+…b_n=1，則

1

n

≤b1b1b2b2…bnbn≤b₁²+b₂²+…+b_n²．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導，令導數等于零，解方程，分析該零點兩側導函數的符號，確定函數的單調性和極值，最終求得函數的最值；
（Ⅱ）（1）要證a1b1a2b2…anbn≤1，只需證ln(a1b1a2b2… anbn)≤0，根據（I）和∵a_k，b_k（k=1，2…，n）均為正數，從而有lna_k≤a_k-1，即可證明結論；（2）要證

1

n

≤b1b1b2b2…bnbn，根據（1），令a_k=

1

nbk

（k=1，2…，n），再利用分數指數冪的運算法則即可證得結論；要證b1b1b2b2…bnbn≤b₁²+b₂²+…+b_n²，記s=b₁²+b₂²+…+b_n²．令a_k=

bk

s

（k=1，2…，n），同理可證．

解答：解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），
令f′（x）=

1

x

-1=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數；
當x＞1時，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數；
故函數f（x）在x=1處取得最大值f（1）=0；

（II）（1）由（I）知，當x∈（0，+∞）時，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∵a_k，b_k（k=1，2…，n）均為正數，從而有lna_k≤a_k-1，
得b_klna_k≤a_kb_k-b_k（k=1，2…，n），
求和得

ln

b1 a1

+

ln

b2 a2

+

ln

b3 a3

+…+

ln

bn an

≤a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n-（b₁+b₂+…+b_n）
∵a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，
∴

ln

b1 a1

+

ln

b2 a2

+

ln

b3 a3

+…+

ln

bn an

≤0，即ln(a1b1a2b2… anbn)≤0，
∴a1b1a2b2…anbn≤1；

（2）先證

1

n

≤b1b1b2b2…bnbn，
令a_k=

1

nbk

（k=1，2…，n），則a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1=b₁+b₂+…b_n，
于是由（1）得(

1

nb1

)b1(

1

nb2

)b2…(

1

nbn

)bn≤1，即

1

b1b1b2b2…bnbn

≤n^{b₁+b₂+…b_n}=n，
∴

1

n

≤b1b1b2b2…bnbn，
②再證b1b1b2b2…bnbn≤b₁²+b₂²+…+b_n²，
記s=b₁²+b₂²+…+b_n²．令a_k=

bk

s

（k=1，2…，n），
則a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

s

（b₁²+b₂²+…+b_n²）=1=b₁+b₂+…b_n，
于是由（1）得(

1

sb1

)b1(

1

sb2

)b2…(

1

sbn

)bn≤1，
即b1b1b2b2…bnbn≤s^{b₁+b₂+…b_n}=s，
∴b1b1b2b2…bnbn≤b₁²+b₂²+…+b_n²，
綜合①②，（2）得證．

點評：此題是個難題．本題主要考查函數、導數、不等式證明等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉化的思想．