Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣x2 ， a∈R，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若x≥1時，f（x）≤0恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設a＞0，若A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）為曲線y=f（x）上的兩個不同點，滿足0＜x1＜x2 ， 且x3∈
（x1 ， x2），使得曲線y=f（x）在x=x3處的切線與直線AB平行，求證：x3＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數f（x）=alnx﹣x2，x＞0，a∈R，

∴f′（x）= ﹣2x= ；

當a≤0時，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在定義域上是減函數；

當a＞0時，令f′（x）=0，即a﹣2x2=0，解得x= ，

∴x＞ 時，f′（x）＜0，f（x）是減函數，

0＜x＜ 時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；

綜上，a≤0時，f（x）的減區間是（0，+∞），

a＞0時，f（x）的減區間是（ ，+∞），增區間是（0， ）；

（2）

解：根據（1）知，a≤0時，f（x）的減區間是（0，+∞），

令f（1）＜0，則﹣x2＜0恒成立，∴a≤0滿足題意；

a＞0時，f（x）的減區間是（ ，+∞），增區間是（0， ）；

當 ≤1，即0＜a≤2時，f（x）在（1，+∞）上是減函數，∴0＜a≤2滿足題意；

當 ＞1，即a＞2時，f（x）的最大值是f（ ），令f（ ）≤0，

即aln ﹣ ≤0，解得a≤2e，即2＜a≤2e滿足題意；

綜上，a的取值范圍是a≤2e；

（3）

解：當a＞0時，A（x1，y1），B（x2，y2）為曲線y=f（x）上的兩個不同點，滿足0＜x1＜x2時，

∴x3∈（x1，x2），使得曲線y=f（x）在x=x3處的切線與直線AB平行，如圖所示；

∴kAB= = ，

又∵f′（x）= ﹣2x，

∴kl=f′（x3）= ﹣2x3．

∴ = ﹣2x3．

∵f′（x）= ﹣2x在（0，+∞）上是減函數，

∴欲證：x3＜ ，即證明f′（x3）＞f′（ ），

即 ＞ ﹣（x1+x2），

變形為 ＞ ，

∴ln ＞2 ，

∴ln ＞2 ；

設 =t（t＞1），

則上述不等式等價于lnt＞2 ，

即（t+1）lnt＞2（t﹣1）；

構造函數g（t）=lnt+ ﹣1，

當t＞1時，g′（t）= ﹣ = ，

∴g′（t）在（1，+∞）上為增函數；

∴g′（t）＞g′（1）=0，

∴g（t）在t＞1時是增函數，

∴g（t）＞g（1）=0；

∴g（t）＞0在（1，+∞）上恒成立，

即（t+1）lnt＞2（t﹣1）恒成立．

∴x3＜ 恒成立．

【解析】（1）求函數f（x）的導數，利用導數來判斷f（x）的增減性，從而求出單調區間；（2）根據f（x）的單調區間，求出f（x）在（1，+∞）上的最大值，令最大值小于或等于0，求出a的取值范圍；（3）當a＞0時，求出直線AB的斜率kAB ， 由直線AB與切線平行，得出x3與x1+x2的關系式；構造函數g（t），利用函數的單調性證明不等式x3＜ 恒成立即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．