Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且橢圓上存在一點(diǎn)，滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓的半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用余弦定理和橢圓的定義即可求出a，再根據(jù)b2＝a2﹣c2＝3，可得橢圓的方程;（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的半徑為R，表示出△F1AB的周長(zhǎng)與面積，設(shè)直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示三角形面積，令t，利用函數(shù)的單調(diào)性求解面積的最大值，然后求解△F1AB內(nèi)切圓半徑的最大值為．

（1）設(shè)，則內(nèi)，

由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，解得

故，得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，設(shè)得內(nèi)切圓半徑為

的周長(zhǎng)為

所以

根據(jù)題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為

由得

由韋達(dá)定理得

令，則

令，則時(shí)，單調(diào)遞增，

即當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí).

故當(dāng)直線的方程為時(shí)，內(nèi)圓半徑的最大值為.