Question

已知函數f（x）=x²-4sinθ•x-1，x∈[-1，

3

]，其中θ∈[0，2π]
（1）當θ=

π

6

時，求函數f（x）的最大最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區間[-1，

3

]上存在反函數．

Answer 1

（1）當θ=

π

6

時，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
函數的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=1，
故當x∈[-1，1]時，函數單調遞減，
當x∈[1，

3

]時，函數單調遞增，
故當x=1時，函數取最小值f（1）=-2，
當x=-1時，函數取最大值f（-1）=2；
（2）可得f（x）=（x-2sinθ）²-1-4sin²θ，
函數的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=2sinθ，
要使函數y=f（x）在區間[-1，

3

]上存在反函數，
必須使函數在該區間單調，故2sinθ≤-1，或2sinθ≥

3

，
可得sinθ≤-

1

2

，或sinθ≥

3

2

，
解之可得

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3

，
故θ的取值范圍為：

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3