Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝，E為CD的中點，將△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在線段DE內．

(1)求證：CO⊥平面ABED；

(2)問∠CEO(記為θ)多大時，三棱錐C－AOE的體積最大，最大值為多少．

 

Answer 1

（1）見解析（2），

【解析】(1)在直角梯形ABCD中，

CD＝2AB，E為CD的中點，則AB＝DE，

又AB∥DE，AD⊥AB，可知BE⊥CD.

在四棱錐C－ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE＝E，CE，DE?平面CDE，

則BE⊥平面CDE.又BE?平面ABED，

所以平面ABED⊥平面CDE，

因為CO?平面CDE，

又CO⊥DE，且DE是平面ABED和平面CDE的相交直線，

故CO⊥平面ABED.

(2)由(1)知CO⊥平面ABED，

所以三棱錐C－AOE的體積V＝S△AOE×OC＝××OE×AD×OC.

由直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝，CE＝2.

得在三棱錐C－AOE中，

OE＝CEcos θ＝2cos θ，OC＝CEsin θ＝2sin θ，

V＝sin 2θ≤，

當且僅當sin 2θ＝1，θ∈，即θ＝時取等號(此時OE＝＜DE，O落在線段DE內)，

故當θ＝時，三棱錐C－AOE的體積最大，最大值為.