Question

【題目】已知函數．

（1）當為何值時， 軸為曲線的切線；

（2）用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）當時， 軸是曲線的切線（2）當或時， 有一個零點；當或時， 有兩個零點；當時， 有三個零點．

【解析】【試題分析】（1）先對函數求導，再運用導數的幾何意義建立方程組求出；（2）先確定函數的解析表達式的情形，再運用分類整合思想分或和分類討論函數的零點的個數問題，進而求出對應的參數的取值范圍：

（1）設曲線與軸相切于點，則，即，

解得： ，

因此，當時， 軸是曲線的切線；

（2）當時， ，從而，

∴在無零點，

當時，若，則， ，故是的零點； 若，則， ，故不是的零點，當時， ，所以只需考慮在的零點個數，

（Ⅰ）若或，則在無零點，故在單調，而，

所以當時， 在有一個零點； 當時， 在無零點；

（Ⅱ）若，則在單調遞減，在單調遞增，

故當時， 取的最小值，最小值為．

若，即， 在無零點；

若，即，則在有唯一零點；

③若，即，由于，所以當時， 在有兩個零點；當時， 在有一個零點．

綜上，當或時， 有一個零點；當或時， 有兩個零點；

當時， 有三個零點．