Question

【題目】已知曲線C的極坐標方程為ρ=2，在以極點為直角坐標原點O，極軸為x軸的正半軸建立的平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數）．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）在平面直角坐標系中，設曲線C經過伸縮變換φ： 得到曲線C′，若M（x，y）為曲線C′上任意一點，求點M到直線l的最小距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標方程為ρ=2，化為直角坐標方程：x2+y2=4．

直線l的參數方程為 （t為參數），消去參數t化為普通方程：y=x+3

（2）解：曲線C經過伸縮變換φ： ，即 ，代入曲線C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲線C′： =1．

若M（x，y）為曲線C′上任意一點，設M（cosθ，2sinθ），點M到直線l的距離d= = ≥ = ，當且僅當sin（θ﹣φ）=1時取等號．

因此最小距離為：

【解析】（1）曲線C的極坐標方程為ρ=2，利用互化公式化為直角坐標方程．直線l的參數方程為 （t為參數），相減消去參數t化為普通方程．（2）曲線C經過伸縮變換φ： ，即 ，代入曲線C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲線C′： =1．設M（cosθ，2sinθ），點M到直線l的距離d= = ，即可得出最小值．