Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）．
（1）求函數f（x）在區間[1，2]上的最大值；
（2）若A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x0 ， y0）是函數f（x）圖象上不同的三點，且x0= ，試判斷f′（x0）與 之間的大小關系，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ = ．（x∈[1，2]）．

①a=0，f′（x）= ，可得f′（x）≥0，∴函數f（x）在x∈[1，2]上單調遞增，因此x=2時，函數f（x）取得最大值，

f（2）=2﹣ln2．

②a≠0時，f′（x）= ．

a＞0時，可得f′（x）≥0，∴函數f（x）在x∈[1，2]上單調遞增，因此x=2時，函數f（x）取得最大值，f（2）=2﹣ln2．

時， ＞2，可得f′（x）≥0，∴函數f（x）在x∈[1，2]上單調遞增，因此x=2時，函數f（x）取得最大值，f（2）=2﹣ln2．

時，f′（x）= ，可得f′（x）≥0，∴函數f（x）在x∈[1，2]上單調遞增，因此x=2時，函數f（x）取得最大值，f（2）=2﹣ln2．

時，2＞ ＞1．可得x=﹣ 時，函數f（x）取得最大值，f（﹣ ）=1﹣ +ln（﹣2a）．

時，f′（x）= ≤0，∴函數f（x）在x∈[1，2]上單調遞減，因此x=1時，函數f（x）取得最大值，

f（1）=1﹣a．

a 時，0＜ ＜1，可得f′（x）≤0，∴函數f（x）在x∈[1，2]上單調遞減，因此x=1時，函數f（x）取得最大值，f（1）=1﹣a．

綜上可得： 時，函數f（x）取得最大值為f（2）=2﹣ln2．

時，函數f（x）取得最大值f（﹣ ）=1﹣ +ln（﹣2a）．

a 時，函數f（x）取得最大值，f（1）=1﹣a．

（2）解：f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ ，f′（x0）=a（x1+x2）+1﹣2a﹣ ．

y1﹣y2= +（1﹣2a）x1﹣lnx1﹣[a +（1﹣2a）x2﹣lnx2]=a（x1+x2）（x1﹣x2）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+ln ．

∴ =a（x1+x2）+（1﹣2a）+ ．

∴f′（x0）﹣ =﹣ ﹣ = ﹣ ．

不妨設0＜x1＜x2，令 ．

由 ﹣ = ﹣ =lnt﹣ =g（t），t＞1．

則g′（t）= ﹣ = ＞0，

∴函數g（t）在（1，+∞）上單調遞增．

∴g（t）＞g（1）=0．

∴ ﹣ ＞0，

∴ ﹣ ＞0．

∴f′（x0）＞ ．

【解析】（1）f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ = ．（x∈[1，2]）．對a分類討論，利用導數研究函數的單調性極值與最值，即可得出．（2）f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ ，f′（x0）=a（x1+x2）+1﹣2a﹣ ．而 =a（x1+x2）+（1﹣2a）+ ．作差可得f′（x0）﹣ =﹣ ﹣ = ﹣ ．不妨設0＜x1＜x2 ， 令 ．由 ﹣ = ﹣ =lnt﹣ =g（t），t＞1．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．