Question

【題目】已知函數 (， 為自然對數的底數).

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）的最大值為1.

【解析】試題分析：（1）先求導數，再根據a的正負討論導函數符號變化規律，最后根據導函數符號確定極值，（2）先將無交點轉化為方程在上沒有實數解，轉化為在上沒有實數解，再利用導數研究取值范圍，即得，即得的取值范圍是，從中確定的最大值.

試題解析：（Ⅰ） ，

①當時， ， 為上的增函數，所以函數無極值.

②當時，令，得， .

， ； ， .

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值.

綜上，當時，函數無極小值；

當， 在處取得極小值，無極大值.

（Ⅱ）當時， .

直線與曲線沒有公共點，

等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程：

在上沒有實數解.

①當時，方程可化為，在上沒有實數解.

②當時，方程化為.

令，則有

令，得，

當變化時， 的變化情況如下表：

		-1
	-	0	+
	↘		↗

當時， ，同時當趨于時， 趨于，

從而的取值范圍為.

所以當時，方程無實數解，

解得的取值范圍是.

綜上，得的最大值為1.