Question

已知定點A(0，

3

)，點B在圓F：x2+(y-

3

)2=16上運動，F為圓心，線段AB的垂直平分線交BF于點P．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）若曲線Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

被軌跡E包圍著，求實數a的最小值；
（3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根據橢圓的定義可求得動點P的軌跡E的方程；
（2）根據橢圓的幾何性質（有界性），可求得實數a的最小值；
（3）表示出|PQ|，利用配方法可求|PQ|的最大值．

解答：解：（1）由題意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓．
其中c=

3

，a=2，∴b=1，∴橢圓方程為x2+

y2

4

=1；
（2）曲線Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

化為（x-a）²+y²=

1

4

，
則曲線Q是圓心在（a，0），半徑為

1

2

的圓．
設M（x，y）是此曲線上任意一點，則

- 1 2 ≤y≤ 1 2 a- 1 2 ≤x≤a+ 1 2

∵曲線Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

被軌跡E包圍著，
∴-1≤a-

1

2

≤a+

1

2

≤1
∴-

1

2

≤a≤

1

2

，∴實數a的最小值是-

1

2

；
（3）設P（x，y），則有y²=4（1-x²），x∈[-1，1]
∴|PQ|²=（x-2）²+y²=-3x2-4x+8=-3(x+

2

3

)2+

28

3

，
∴x=-

2

3

時，|PQ|²_max=

28

3

，∴|PQ|_max=

2 21

3

．

點評：本題考查橢圓的定義和幾何性質，以及點圓位置關系，考查配方法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．