Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，M為C上除長軸頂點外的一動點，以M為圓心， 為半徑作圓，過原點O作圓M的兩條切線，A、B為切點，當M為短軸頂點時∠AOB= ． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的右焦點為F，過點F作MF的垂線交直線x= a于N點，判斷直線MN與橢圓的位置關系．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意，△OMA（△OMB）為等腰直角三角形，因為圓M的半徑為 ，所以b=1，

又因為 ，所以 ，此時橢圓的方程為 ；

（II）（i）MF垂直于x軸，則 ，

此時直線MN的方程為 ，代入橢圓方程得：x2﹣2+1=0，

所以直線MN與橢圓相切；

（ii）MF不垂直于x軸，設M（x0，y0），則 ，

直線NF的方程 ，令x=2，解得 ，即得 ． ，由M（x0，y0）在橢圓上，得 ，

代入 ．

得直線MN方程為 ，

與橢圓方程聯立得： ，

化簡得： ，所以此時直線MN與橢圓相切，

綜合（i）（ii），直線MN與橢圓相切．

【解析】（I）利用△OMA（△OMB）為等腰直角三角形，求出b=1，通過離心率求解a，然后求解橢圓方程．（II）（i）MF垂直于x軸，驗證直線MN與橢圓相切；（ii）MF不垂直于x軸，設M（x0，y0），則 ，轉化求解直線MN方程，與橢圓方程聯立，轉化證明直線MN與橢圓相切．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．