Question

定義函數(shù)f(x)=

2cosx，(sinx＜cosx) 2sinx (sinx≥cosx)

，給出下列四個命題：①該函數(shù)的值域是[-2，2]；②該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；③當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-

π

2

(k∈Z)時該函數(shù)取得最大值2；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-π＜x＜2kπ-

π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0．上述命題中，錯誤命題的個數(shù)是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以判斷出函數(shù)的f（x）的值域，進(jìn)而判斷①的真假；判斷出函數(shù)的f（x）的周期，進(jìn)而判斷②的真假；判斷出函數(shù)的f（x）的最大值及取最大值時自變量x的值，進(jìn)而判斷出③的真假；求出函數(shù)的f（x）的值小于0時，自變量x的取值范圍，進(jìn)而判斷出④的真假；最終得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

2cosx，(sinx＜cosx) 2sinx (sinx≥cosx)

，
由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：
函數(shù)f（x）的值域為[-

2

，2]，故①錯誤；
函數(shù)f（x）是以2π為最小正周期的周期函數(shù)，故②錯誤；
函數(shù)f（x）在x=2kπ或x=2kπ+

π

2

(k∈Z)時該函數(shù)取得最大值2，故③錯誤；
函數(shù)f（x）在2kπ-π＜x＜2kπ-

π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0，故④正確
故選C

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法，函數(shù)的值域，函數(shù)的周期性，函數(shù)的最值，其中熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．