Question

【題目】已知離心率為的橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：以 為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用離心率結(jié)合橢圓所過的點(diǎn)得到關(guān)系 的方程組，求解方程組即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)分類討論，當(dāng)斜率不存在的時(shí)候單獨(dú)考查，當(dāng)斜率存在的時(shí)候設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量的結(jié)論證得 即可.

試題解析：

（Ⅰ）點(diǎn)， 分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓的方程為；

由離心率為得： ；

過點(diǎn)得： ；

所以， ， ；橢圓方程為；

（Ⅱ）由（1）知， ；令， ；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為；

此時(shí)， ，不滿足；設(shè)直線方程為；

代入橢圓方程得：

韋達(dá)定理： ， ；

所以， ，

；

所以， ；

點(diǎn)到直線的距離為；

所以，由得： ；

所以，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)