Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線交橢圓于、兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點，詳見解析.

【解析】

(1)由焦點和離心率可得的值，則方程易求.

(2)設出直線的方程，與橢圓方程聯立，結合線段的中點，利用根與系數的關系(或點差法)可求出直線的斜率，進而可表示出直線的方程，判斷其所過定點.

（1）拋物線的焦點為，則.

橢圓的離心率，則.

故橢圓的標準方程為.

（2）方法一：顯然點在橢圓內部，故，且直線的斜率不為.

當直線的斜率存在且不為時，易知，設直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡得.

設，，則，解得.

因為直線是線段的垂直平分線，故直線，即.

令，此時，于是直線過定點.

當直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點.

綜上所述，直線過定點.

方法二：顯然點在橢圓內部，故，且直線的斜率不為.

當直線的斜率存在且不為時，設，，

則有，，

兩式相減得.

由線段的中點為，則，

故直線的斜率.

因為直線是線段的垂直平分線，故直線，即.

令，此時，于是直線過定點.

當直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點.

綜上所述，直線過定點.