Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個頂點到左焦點的距離等于．

（1）求橢圓的方程；

（2）設經過點的直線交橢圓于兩點，弦的中垂線交軸于點．

①求實數的取值范圍；

②若，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①,②.

【解析】

（1）根據橢圓的基本性質列出關于的方程組，解出即可得橢圓的方程；

（2）由題意得，設直線的方程為，代入橢圓中，根據韋達定理可求出的取值范圍，①設的中點為，求出點的坐標，根據直線斜率的關系化簡可得，結合的范圍即可求出的取值范圍；②得，聯立方程可得，根據韋達定理可得，，即可求出結果.

（1）依題意可得，解得，，

故橢圓方程為.

（2）由題意得，設直線的方程為，聯立，

整理得，

由，解得，

設，

∴，，

①設的中點為，

則有，則，

當時，即，即，，
解得，

當時，可得，符合，

∴，由，解得，

即實數的取值范圍為.

②由題意得且，

設或點的坐標為

由，

消去，可得，∴，也是此時方程的兩個根，

∴，，

∴，解得，

∴.