Question

【題目】已知：函數.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）求函數的上的最大值；

（3）當時，試討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】

(1)根據導數的幾何意義求得切線的斜率,由點斜式可求得切線方程;

(2)求導后,對分類討論可求得函數的上的最大值;

(3)求導后,對分類討論,利用零點存在性定理可求得.

（1）因為,所以,所以，

∴函數在點處的切線方程為：；

（2）因為,所以，

①當，∴在上單調遞增；此時的最大值為；

②當，令得,

若，即時，在上恒成立，所以在上單調遞增，

∴，

若，即時，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，

∴，

綜上所述：

①當時，的最大值為；

②當時，的最大值為；

（3）由題意知：，則，

①即時在上恒成立，

∴在上單調增，

且，，

由零點存在性定理可知：在上存在唯一的零點，即在上存在唯一零點；

②即，

令，則，

此時，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在上取得最小值,

令，

令，得，

∴在單調增，在上單調減，得，

①當時，，此時函數有且只有一個零點，

②當,即時，,

所以在上為增函數,所以,即，

∵，∴在有唯一的零點，

下面先證：

設，∴，得：，

當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

∴，即得證（當且僅當時取等號）；

∵，∴，

∴，

由零點存在性定理可知：在上存在唯一零點，

∴有兩個零點.

③時，且，

又有，

∴由零點存在性定理可知：在與上各存在唯一零點.

所以有兩個零點.

綜上所述：或時，有一個零點，

且時，有兩個零點.