Question

已知函數(shù)
（1）若的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當有實根，求實數(shù)b的最大值。

Answer 1

解：（1）……1分
因為為的極值點，所以
即，解得，又當時，，從而為的極值點成立。…………2分
（2）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立。…………3分
①當時，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意。…………4分
②當時，由函數(shù)的定義域可知，必有對成立，
故只能…………5分
故對恒成立
令，其對稱軸為
從而要使對恒成立，只要即可…………6分
  解得：
，故
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為…………7分
（3）若時，方程可化為，．
問題轉(zhuǎn)化為在上有解，
即求函數(shù)的值域．………………………………8分
以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：
解法一：，令
則…………9分
所以當時，，從而在上為增函數(shù)
當時，，從而上為減函數(shù)
因此…………10分
而，故…………11分
因此當時，取得最大值………12分
解法二：因為，所以
設(shè)，則………9分
當時，，所以在上單調(diào)遞增
當時，，所以在上單調(diào)遞減
因為，故必有，又…10分
因此必存在實數(shù)使得
當時，，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，所以在上單調(diào)遞增
當時，，所以在上單調(diào)遞減………11分
又因為
當時，，則，又
因此當時，取得最大值

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。主要是極值的概念和根據(jù)單調(diào)區(qū)間，求解參數(shù)的取值范圍，以及利用函數(shù)與方程的思想求解參數(shù)b的最值。