Question

已知A，B，C三點的坐標分別是A(0，

3

2

)，B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中

π

2

＜θ＜

3π

2

，且|

AC

|=|

BC

|．
（1）求角θ的值；
（2）當0≤x≤

π

2

時，求函數f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）確定

AC

、

BC

的坐標，利用|

AC

|=|

BC

|，建立方程，即可求角θ的值；
（2）當0≤x≤

π

2

時，可得2x+θ的范圍，利用正弦函數的性質，即可求函數f（x）=2sin（2x+θ）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵A，B，C三點的坐標分別是A(0，

3

2

)，B（0，3），C（cosθ，sinθ），
∴

AC

=（cosθ-3，sinθ），

BC

=（cosθ，sinθ-3）…（2分）
∵|

AC

|=|

BC

|，∴

(cosθ-3)2+sin2θ

=

cos2θ+(sinθ-3)2

化簡得：sinθ=cosθ               …（5分）
∵

π

2

＜θ＜

3π

2

，∴θ=

5π

4

         …（7分）
（2）當0≤x≤

π

2

時，

5π

4

≤2x+θ≤

9π

4

∴-1≤sin(2x+θ)≤

2

2

…（10分）
∴f(x)max=

2

，f（x）_min=-2…（12分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查正弦函數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．