Question

【題目】將所有平面向量組成的集合記作, 是從到的映射, 記作或, 其中都是實數. 定義映射的模為: 在的條件下的最大值, 記做. 若存在非零向量, 及實數使得, 則稱為的一個特征值.

（Ⅰ）若, 求;

（Ⅱ）如果, 計算的特征值, 并求相應的;

（Ⅲ）試找出一個映射, 滿足以下兩個條件: ①有唯一的特征值, ②. (不需證明)

Answer 1

【答案】（1）1（2） ,, , (3)見解析.

【解析】

（1）由新定義可得=，利用=1，可得≤1，從而可得結論；

（2）由特征值的定義可得：，由此可得f的特征值，及相應的；

（3）解方程組，可得x1（a1﹣λ，b1）+x2（a2，﹣b1﹣λ）=0，從而可得a1，a2，b1，b2應滿足的條件，當f（）=λ時，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再進行證明即可．

（1）由于此時=，

又因為是在=1的條件下，有==≤1（x2=±1時取最大值），

所以此時有||f||=1；

（2）由f（x1，x2）=（x1+x2，x1﹣x2）=λ（x1，x2），可得：，

解此方程組可得：（λ﹣1）（λ+1）=1，從而λ=±．

當λ=時，解方程組，此時這兩個方程是同一個方程，

所以此時方程有無窮多個解，為（寫出一個即可），其中m∈R且m≠0．

當λ=﹣時，同理可得，相應的（寫出一個即可），其中m∈R且m≠0．

（3）解方程組，可得x1（a1﹣λ，b1）+x2（a2，﹣b1﹣λ）=0

從而向量（a1﹣λ，b1）與（a2，﹣b1﹣λ）平行，

從而有a1，a2，b1，b2應滿足：．

當f（）=λ時，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．

具體證明為：

由f的定義可知：f（x1，x2）=λ（x1，x2），所以λ為特征值．

此時a1=λ，a2=0，b1=0，b2=λ滿足：，所以有唯一的特征值．

在=1的條件下=λ2，從而有||f||=|λ|．