Question

【題目】以任意方式把空間染成五種顏色(每點屬于一色,每色的點都有).

(1)證明:存在一個平面,至少含有四種不同顏色的點;

(2)是否一定存在五色平面?

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 不一定.

【解析】

(1)若存在四色線,則含有的平面即為所求.若存在三色線,

則在線外可再取到一個第四色的點,過點和線的平面即為所求.

假若任一直線上都不多于兩色,為此,

用分別表示這五種顏色的點所構成的點集.取點,,過的直線記為,則直線上其余的點也屬于或.

不妨設直線上有點,在空間分別取點、,過的平面記為,

則直線與平面有公共點.

若,則平面即為所求(這時,平面上含有四色).

若,在空間再取一點,過點和直線作平面,

則平面和平面的交線為過的直線.在平面內,過點的兩條直線和中,

至少有一條要與直線相交,不妨設,則點屬于或.

于是,平面至少含有四色(或含或含).

(2)不一定.例如,若將四面體的四個頂 點分別染成四色,

空間其余的點全染成色,這時,不存在五色平面.