Question

【題目】高一數學競賽共設有35個考場，甲、乙、丙三所學校的領隊各自將本校學生人數相同的考場歸為一組.經統計，甲校共有i組，各組的考場數分別為；乙校共有j組，各組的考場數分別為；丙校共有k組，各組的考場數分別為.已知包含了1 ~ 14的所有整數.證明：能找到三個考場，至少有兩所學校在這三個考場中的選手人數各自是相同的.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

令.

因為包含了1 ~ 14的整數，所以.

而

.

于是，恰是1，2，…，14的一個排列.

因此，.

接下來證明：能找到三個考場，使得它們中至少有兩所學校，每所學校選手的人數分別相同.

不妨設，這14個考場記為A組，是甲校選手人數相同的14個考場，由于每個考場中還有乙校和丙校的選手，它還可歸入其他兩所學校的分組.由，知必有乙校分出的組數j或丙校分出的組數k不大于6，不妨設乙校分出的組數j不大于6.

A組的14個考場分到這不超過6個乙校分出的組中去，必有一組是至少三個A組的考場，顯然，這三個A組考場的甲校選手人數相同，而這三個考場又是同屬于乙校分組中的某一組，它們乙校選手人數也相同.