Question

5、定義在R上的偶函數y=f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上是減函數，若α，β是銳角三角形的兩個內角，則（　　）

A、f（sinα）＞f（sinβ）

B、f（cosα）＞f（cosβ）

C、f（sinα）＜f（cosβ）

D、f（sinα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析：由條件f（x+1）=-f（x），得到f（x）是周期為2的周期函數，由f（x）是定義在R上的偶函數，在[-3，-2]上是減函數，
得到f（x）在[2，3]上是增函數，在[0，1]上是增函數，再由α，β是銳角三角形的兩個內角，得到α＞90°-β，
且sinα、cosβ都在區間[0，1]上，從而得到f（sinα）＞f（cosβ）．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），f（x）是周期為2的周期函數．
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（-x）=f（x），∵f（x）在[-3，-2]上是減函數，
∴在[2，3]上是增函數，∴在[0，1]上是增函數，∵α，β是銳角三角形的兩個內角．
∴α+β＞90°，α＞90°-β，兩邊同取正弦得：sinα＞sin（90°-β）=cosβ，且sinα、cosβ都在區間[0，1]上，
∴f（sinα）＞f（cosβ），故答案選 D．

點評：本題綜合考查函數的奇偶性、單調性、周期性．