Question

有4個不同的小球，4個不同的盒子，把小球全部放入盒內．
（1）恰有1個盒內有2個小球，有多少種不同放法？
（2）恰有兩個盒內不放小球，有多少種不同放法？

Answer 1

分析：（1）先選兩個元素作為一組再排列，恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，根據分步計數原理得到結果．
（2）先分類，把四個小球先分成兩組，每組兩個小球，或者是把四個小球分成兩組，每組一個和三個，分完小組后再進行排列，從4個盒中選兩個位置排列，得到結果．

解答：解：（1）可分三個步驟完成這件事情：第一步，從4個小球中取兩個小球，有C₄²種方法；
第二步，將取出的兩個小球放入一個盒內，有C₄¹種方法；
第三步，在剩下的三個盒子中選兩個放剩下的兩個小球，有A₃²種方法；
由分步計數原理，共有C₄²•C₄¹•A₃²=144種放法．
（2）完成這件事情有兩類辦法：第一類，一個盒子放3個小球，一個盒子放1個小球，兩個盒子不放小球有C₄¹•C₄³•C₃¹=48種方法；…（9分）
第二類，有兩個盒子各放2個小球，另兩個盒子不放小球有C₄²•C₄²=36種方法；…（12分）
由分類計數原理，共有48+36=84種放法．

點評：本題考查分步、分類計數原理，是一個基礎題，解題的過程中注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列