Question

【題目】在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，點M為△ABC內切圓的圓心，過點M作動直線l與線段AB，AC都相交，將△ABC沿動直線l翻折，使翻折后的點A在平面BCM上的射影P落在直線BC上，點A在直線l上的射影為Q，則的最小值為_____．

Answer 1

【答案】825

【解析】

以AB，BC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，設直線l的斜率為k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．

過點M作△ABC的三邊的垂線，設⊙M的半徑為r，則r2，

以AB，BC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，

如圖所示，則M（2，2），A（0，8），

因為A在平面BCM的射影在直線BC上，所以直線l必存在斜率，

過A作AQ⊥l，垂足為Q，交直線BC于P，

設直線l的方程為：y＝k（x﹣2）+2，則|AQ|，

又直線AQ的方程為：yx+8，則P（8k，0），所以|AP|8，

所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，

所以，

①當k＞﹣3時，4（k+3）25≥825，

當且僅當4（k+3），即k3時取等號；

②當k＜﹣3時，則4（k+3）23≥823，

當且僅當﹣4（k+3），即k3時取等號.

故答案為：825