Question

點P（4，4），圓C：（x-1）²+y²=5與橢圓E：

x2

18

+

y2

2

=1有一個公共點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．設Q為橢圓E上的一個動點，求

AP

•

AQ

的取值范圍．

Answer 1

∵A（3，1），P（4，4），
∴

AP

=(1，3)，
設Q（x，y），則

AQ

=(x-3，y-1)，
∴

AP

•

AQ

=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6．
∵

x2

18

+

y2

2

=1，
即x²+（3y）²=18，而x²+（3y）²≥2|x|•|3y|，
∴-18≤6xy≤18．則（x+3y）²=x²+（3y）²+6xy=18+6xy的取值范圍是[0，36]．
∴x+3y的取值范圍是[-6，6]，
因此，

AP

•

AQ

的取值范圍是[-12，0]．