Question

已知線段AB的端點B的坐標是（1，2），端點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，點M是AB的中點．
（1）若點M的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（2）設直線l：x+y+3=0，求曲線C上的點到直線l距離的最大值和最小值．

Answer 1

（1）設線段AB中點M（x，y），A（x₁，y₁），
由題意知：x=

x1+1

2

，y=

y1+2

2

，
∴x₁=2x-1，y₁=2y-2，
∵點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，
∴（2x-1+1）²+（2y-2）²=4，
整理，得x²+（y-1）²=1，
∴點M的軌跡方程是：x²+（y-1）²=1，表示以（0，1）為圓心，1為半徑的圓．
（2）由圓的標準方程x²+（y-1）²=1，
∴圓心（0，1），半徑r=1，
∵圓心到直線x+y+3=0的距離d=

|0+1+3|

2

=2

2

，
∴圓上的點到直線的最大距離：2

2

+1，最小距離：2

2

-1．