Question

如圖，點A、B、C都在冪函數y=x

1

2

的圖象上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′，記△AB′C的面積為f（a），△A′BC′的面積為g（a）
（1）求函數f（a）和g（a）的表達式；
（2）比較f（a）與g（a）的大小，并證明你的結論

Answer 1

分析：（1）間接法求f（a），利用f（a）=S_△AB'C  =S_梯形AA'C'C  -S_△AA'B'-S_△CC'B'求出f（a）的值，直接法求g（a）=

1

2

 AC•BB′．
（2）比較f（a）與g（a）的大小，用作差法，化簡f（a）-g（a）到因式乘積的形式，判斷符號，從而比較大小．

解答：解：（1）連接AA′、BB′、CC′，
則f（a）=S_△AB'C  =S_梯形AA'C'C  -S_△AA'B'-S_△CC'B'
=

1

2

(AA′+CC′)×2-

1

2

AA′-

1

2

CC′=

1

2

(AA′+CC′)=

1

2

（

a

+

a+2

），
g（a）=S_△A′BC′=

1

2

 AC•BB′=BB′=

a+1

，
(2)f(a)-g(a)=

1

2

(

a

+

a+2

-2

a+1

) 
=

1

2

[(

a+2

-

a+1

)-(

a+1

-

a

)]=

1

2

(

1

a+2 + a+1

-

1

a+1 + a

)＜0，
∴f（a）＜g（a），

點評：本題考查冪函數的應用，不等式比較大小的方法，體現轉化的數學思想．