Question

【題目】已知菱形所在平面，，為線段的中點(diǎn), 為線段上一點(diǎn)，且．

（1）求證： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，得，由線面平行的判定定理得平面，連接交與點(diǎn),連接，得，進(jìn)而得平面，再由面面平行的判定，得平面平面，進(jìn)而得到平面．

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接

∵為的中點(diǎn)，

∴

∴平面．……………………2分

連接交與點(diǎn),連接

∵為的中點(diǎn)，

∴

∴平面……………………4分

∵

∴平面平面

又平面

∴平面．…………6分

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系

則

∴………7分

設(shè)平面的法向量為

則，即

不放設(shè)得……………………8分

設(shè)平面的法向量為

則，即

不放設(shè)得……………………10分

則二面角的余弦值為……………………12分