Question

【題目】設數列的前項和為，且（），設（），數列的前項和.

（1）求、、的值；

（2）利用“歸納—猜想—證明”求出的通項公式；

（3）求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）（）；（3）.

【解析】

（1）先代，求得，當時，根據，化簡得到與的遞推式，

再代，求得，并為求第（2）問提供基礎;

（2）由（1）歸納猜想，并用數學歸納法證明；

（3）由（2）求得的，求出，并化簡，分析，發現可用裂項相消法求解，

考慮消去方便，可對分奇數和偶數兩種情況分析，最后合并得到答案.

解：（1）由，令，則，得，

當時，由，得，得，

令，得，令，得，即，，.

（2）由（1）知，，，猜想，

下面用數學歸納法證明：① 當 時，由猜想知顯然成立；

②假設猜想成立，即，

則當時，由（1）有，

即當時，猜想也成立.

綜合①②可知，猜想成立，即

（3）由（2）知，當時，，

綜合知：，又，

則

當為偶數時，

當為奇數時，

綜上可得