Question

已知數列{a_n},a₁=2a+1(a≠-1的常數),a_n=2a_n-1+n²-4n+2(n≥2,n∈N^?),數列{b_n}的首項, b₁=a,b_n=a_n+n²(n≥2,n∈N^?).
(1)證明:{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列并求{b_n}通項公式;
(2)設S_n為數列{b_n}的前n項和,且{S_n}是等比數列,求實數a的值;(3)當a>0時,求數列{a_n}的最小項.

Answer 1

解：（1）；（2） 。
（3）當時，最小項為8a-1； 當時，最小項為4a；當時，最小項為2a+1。   當時，最小項為4a或8a-1當時，最小項為4a或2a+1；

b_n=a_n+n²
所以構造出，化簡成與b_n的代數式；是等比數列，∴3a+4=0；分類討論，a_n單調性
解：
(n≥2)
，∵,,即從第2項起是以2為公比的等比數列
（2）由（1）求得 ∵是等比數列, ∴3a+4=0，即 。
（3）由已知當時，，所以,
所以數列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項是前三項中的一項。
當時，最小項為8a-1； 當時，最小項為4a；當時，最小項為2a+1。   
當時，最小項為4a或8a-1當時，最小項為4a或2a+1；