Question

(12分)已知函數f(x)＝x³＋mx²＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函數g(x)＝＋6x的圖象關于y軸對稱．
(1)求m、n的值及函數y＝f(x)的單調區間；（6分）
(2)若a>0，求函數y＝f(x)在區間(a－1，a＋1)內的極值．（6分）

Answer 1

(1) f(x)的單調遞減區間是(0,2)．
(2)當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值；
當1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；
當a＝1或a≥3時，f(x)無極值．

（Ⅰ）利用條件的到兩個關于m、n的方程，求出m、n的值，再找函數y=f（x）的導函數大于0和小于0對應的區間即可．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，分情況討論區間（a-1，a+1）和單調區間的位置關系再得結論．
(1)由函數f(x)的圖象過點(－1，－6)，得m－n＝－3.①…
由f(x)＝x³＋mx²＋nx－2，得＝3x²＋2mx＋n，………………2分
則g(x)＝＋6x＝3x²＋(2m＋6)x＋n.
而g(x)的圖象關于y軸對稱，所以－＝0，解得 m＝－3.
代入①得n＝0.
于是＝3x²－6x＝3x(x－2)．………………………4分
由>0得x>2或x<0，
故f(x)的單調遞增區間是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分
由<0，得0<x<2，
故f(x)的單調遞減區間是(0,2)．………………………6分
(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2. ………………7分
當x變化時，，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，0)	0	(0,2)	2	(2，＋∞)
	＋	0	－	0	＋
f(x)	增函數?	極大值	減函數	極小值	增函數?

…………………………………9分
由此可得：當0<a<1時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極大值f(0)＝－2，無極小值；
當a＝1時，f(x)在 (a－1，a＋1)內無極值；
當1<a<3時，f(x)在(a－1，a＋1)內有極小值f(2)＝－6，無極大值；
當a≥3時，f(x)在(a－1，a＋1)內無極值．
綜上得，當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值；
當1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；
當a＝1或a≥3時，f(x)無極值．………………………………12分