Question

某玩具生產廠家接到一生產倫敦奧運吉祥物的生產訂單，據以往數據分析，若生產數量為x萬件，則可獲利-lnx+

x2

10

萬美元，受美聯貨幣政策影響，美元貶值，獲利將因美元貶值而損失mx萬美元，其中m為該時段美元的貶值指數，且m∈（0，1）．
（1）若美元貶值指數m=

1

10

，為使得企業生產獲利隨x的增加而增長，該企業生產數量應在什么范圍？
（2）若因運輸等其他方面的影響，使得企業生產x萬件產品需增加生產成本

x

10

萬美元，已知該企業生產能力為x∈[10，20]，試問美元貶值指數m在什么范圍內取值才能使得該企業不虧損？

Answer 1

分析：（1）先確定利潤函數，再求導，利用導數大于0，即可求得結論；
（2）企業生產部出現虧損，則當x∈[10，20]時，都有-lnx+

x2

10

-

1

10

x-mx≥0，分離參數，再求最值，即可確定m的取值范圍．

解答：解：（1）若美元貶值指數m=

1

10

，則企業獲得利潤是f（x）=-lnx+

1

10

x2-0.1x（x＞0）
∴f′（x）=-

1

x

+

x

5

-0.1=

x2-0.5x-5

5x

令f′（x）＞0，可得x²-0.5x-5＞0，∴x＜-2或x＞2.5，
∵x＞0，∴x＞2.5
即x＞2.5時，企業生產獲利隨x的增加而增長；
（2）由題意，企業生產部出現虧損，則
當x∈[10，20]時，都有-lnx+

x2

10

-

1

10

x-mx≥0
∴x∈[4，10]時，

1

10

+m≤

x

10

-

lnx

x

，
令g（x）=

x

10

-

lnx

x

，則g′（x）=

x2+10lnx-10

10x2

令h（x）=x²+10lnx-10，則h′（x）=2x+

10

x

＞0恒成立，
∴h（x）在[10，20]上單調遞增
∴h（10）≤h（x）≤h（20）
∵h（10）＞0，∴h（x）＞0恒成立
∴g′（x）＞0
∴g（x）在[10，20]上單調遞增，
∴g（x）_min=1-

ln10

10

∴m≤

9-ln10

10

∴m的取值范圍是（0，

9-ln10

10

]．

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．