Question

某玩具生產廠家接到一生產倫敦奧運吉祥物的生產訂單，據以往數據分析，若生產數量為x萬件，則可獲利-lnx+

x2

10

萬美元，受美聯貨幣政策影響，美元貶值，獲利將因美元貶值而損失mx萬美元，其中m為該時段美元的貶值指數，且m∈（0，1）．
（1）若美元貶值指數m=

1

10

，為使得企業生產獲利隨x的增加而增長，該企業生產數量應在什么范圍？
（2）若因運輸等其他方面的影響，使得企業生產x萬件產品需增加生產成本

x

20

萬美元，已知該企業生產能力為x∈[4，10]，試問美元貶值指數m在什么范圍內取值才能使得該企業生產每件產品獲得的平均利潤不低于0.3美元？

Answer 1

分析：（1）先確定利潤函數，再求導，利用導數大于0，即可求得結論；
（2）由題意x∈[4，10]時，都有

-lnx+ x2 10 -mx- x 20

x

≥0.3，分離參數，確定函數的最值，即可得到結論．

解答：解：（1）若美元貶值指數m=

1

10

，則企業獲得利潤是f（x）=-lnx+

x2

10

-0.1x（x＞0）
∴f′（x）=-

1

x

+

x

5

-0.1=

x2-0.5x-5

5x

令f′（x）＞0，可得x²-0.5x-5≥0，∵x＞0，∴x≥2.5
即x≥2.5時，企業生產獲利隨x的增加而增長；
（2）x∈[4，10]時，都有

-lnx+ x2 10 -mx- x 20

x

≥0.3
∴x∈[4，10]時，m≤-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

，
令g（x）=-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

，則g′(x)=

lnx-1

x2

+

1

10

＞0
∴g（x）=-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

在[4，10]上為增函數
∴g（x）=-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

在[4，10]上的最小值為-

ln4

4

+

1

20

∴0＜m≤-

ln4

4

+

1

20

時，該企業生產每件產品獲得的平均利潤不低于0.3美元．

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．