Question

（2011•山東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=﹣3于點D（﹣3，m）．
（1）求m²+k²的最小值；
（2）若|OG|²=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）2    （2）見解析

（1）設y=kx+t（k＞0），
由題意，t＞0，由方程組，得（3k²+1）x²+6ktx+3t²﹣3=0，
由題意△＞0，
所以3k²+1＞t²，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=﹣，所以y₁+y₂=，
∵線段AB的中點為E，∴x_E=，y_E=，
此時k_OE==﹣．
所以OE所在直線方程為y=﹣x，
又由題設知D（﹣3，m）．
令x=﹣3，得m=，即mk=1，
所以m²+k²≥2mk=2，
（2）（i）證明：由（1）知OD所在直線方程為y=﹣x，
將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得G（﹣，），
又E（，），D（﹣3，），
由距離公式和t＞0，得
|OG|²=（﹣）²+（）²=，
|OD|=，
|OE|==．
由|OG|²=|OD|?|OE|，
得t=k，
因此直線l的方程為y=k（x+1），
所以直線l恒過定點（﹣1，0）；
（ii）由（i）得G（﹣，），
若點B，G關于x軸對稱，則B（﹣，﹣），
將點B坐標代入y=k（x+1），
整理得，
即6k⁴﹣7k²+1=0，解得k²=或k²=1，
驗證知k²=時，不成立，故舍去
所以k²=1，又k＞0，故k=1，
此時B（﹣，﹣），G（﹣，）關于x軸對稱，
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以點A（0，1），
由于△ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設△ABG的外接圓的圓心為（d，0），
因此d²+1=（d+）²+，解得d=﹣，
故△ABG的外接圓的半徑為r==，
所以△ABG的外接圓方程為．