Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A，B，C為拋物線上三點．若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，且|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6．
（1）求拋物線方程；
（2）（文）若OA⊥OB，直線AB與x軸交于一點（m，0），求m．
（2）（理）若以為AB為直徑的圓經過坐標原點O，則求證直線AB經過一定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），根據根據拋物線的定義得：x1+x2+x3+

3p

2

=6…①；根據向量的坐標運算得：x1+x2+x3-

3p

2

=0…②，聯解①②可得拋物線方程為：y²=4x；
（2）（文）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據OA⊥OB，得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0…③．再由直線y=k（x-m）與拋物線方程消去x得：ky²-4y-4km=0，結合韋達定理得：y₁y₂=-4m，結合拋物線方程求得x₁x₂=

1

16

（y₁y₂）²=m²，將它代入③，得m²+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（理）設直線AB方程為：y-y₁=k（x-x₁），其中斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，直線AB方程化為：y-y₁=

4

y1+y2

（x-x₁）．結合以為AB為直徑的圓經過坐標原點O，可以證明出x₁x₂+y₁y₂=0…④，將x₁=

1

4

y₁²，x₂=

1

4

y₂²，代入④得：

1

16

（y₁y₂）²+y₁y₂=0，從而y₁y₂=-16，可得y₂=-

16

y1

．最后將y₂=-

16

y1

和x1=

1

4

y12代入直線AB方程，化簡可得：4x-（y₁+

16

y1

）y-16=0，再令y=0得x=4，因此直線AB經過定點（4，0）．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
∵點A（x₁，y₁）在拋物線y²=2px上，
∴根據拋物線的定義得|

FA

|=x1+

p

2

，同理可得|

FB

|=x2+

p

2

，|

FC

|=x2+

p

2

∵|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6，
∴x1+x2+x3+

3p

2

=6…①
∵F(

p

2

，0)，∴

FA

=（x1-

p

2

，y₁），

FB

=（x2-

p

2

，y₂），

FC

=（x3-

p

2

，y₃），
又∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，
∴x1+x2+x3-

3p

2

=0…②
聯解①②得：P=2    
因此，拋物線方程為：y²=4x
（2）（文）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0…③
設過點m的直線方程為：y=k（x-m），
由

y=k(x-m) y2=4x

，消去x得：ky²-4y-4km=0
由韋達定理得：y₁y₂=-4m，所以x₁x₂=

1

4

y12•

1

4

y22=

1

16

（y₁y₂）²=m²，
將上式代入③，得m²+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（2）（理）設直線AB方程為：y-y₁=k（x-x₁），
其中斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

1 4 y12- 1 4 y22

=

4

y1+y2

∴直線AB方程化為：y-y₁=

4

y1+y2

（x-x₁），
∵以為AB為直徑的圓經過坐標原點O，
∴∠AOB=90°，可得向量

OA

⊥

OB

，所以

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0…④
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在拋物線y²=4x上，
∴x₁=

1

4

y₁²，x₂=

1

4

y₂²，代入④得：

1

16

（y₁y₂）²+y₁y₂=0
∴y₁y₂=-16（舍y₁y₂=0），可得y₂=-

16

y1

，
將y₂=-

16

y1

和x1=

1

4

y12代入直線AB方程，化簡可得：4x-（y₁+

16

y1

）y-16=0
令y=0，得x=4，因此直線AB經過定點（4，0）．

點評：本題以直線方程和向量的坐標運算為載體，著重考查了拋物線的標準方程和拋物線的簡單幾何性質，屬于中檔題．