Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點．求證：直線AB經過點M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標原點．

Answer 1

分析：（1）若AB過M點，設直線AB：x-2p=my，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，可得結論；
（2）若OA⊥OB時，設直線AB：x=my+n，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，可得結論．

解答：證明：（1）若AB過M點，設直線AB：x-2p=my．  
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+2p y2=2px

，可得y²-2pmy-4p²=0
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=

16p4

4p2

-4p2=0，
∴OA⊥OB
（2）若OA⊥OB時，設直線AB：x=my+n．
由

x=my+n y2=2px

，可得y²-2pmy-2pn=0
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

(y1y2)2

4p2

+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直線AB：x=my+2p過定點（2p，0）．
∴直線AB經過點M的充要條件是OA⊥OB

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．