已知函數
（
為自然對數的底數），
（
為常數），
是實數集
上的奇函數．
（1）求證：
；
（2）討論關于
的方程：
的根的個數；
（3）設
，證明：
（為自然對數的底數）．
（1）證明詳見解析.（2）
；
；
.（3）證明詳見解析.
解析試題分析：（1）構造函數
則
，求出>0時x的取值，即函數h（x）的單調增區(qū)間，
時x的取值，即函數h（x）的單調減區(qū)間，可得
即
即可.（2）由是 上的奇函數可得
，構造函數
求
，根據導數的性質求出函數
的單調區(qū)間，函數的最大值為
，然后再根據直線y=m與函數的交點個數判斷原方程根的個數情況.（3）由（1）知
,令
，
試題解析：（1）證:令
,令
時
時,. ∴
∴ 即
. 4分
（2）
為R上的奇函數，
令
8分
。
（3）由（1）知,令，則
，所以原式=
+
+···+
+1，然后用縮放法證明即可.
于是，
∴
=++···++1
+
+···+
+1=
.12分
考點：1.求函數的導數；2.導數的性質和函數的零根；3.不等式的證明.
七彩題卡口算應用一點通系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線
垂直，求
的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求證：
．
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（
），其中
．
時，求曲線
在點
處的切線方程；
時，求函數
的極大值和極小值．
（其中
是實數）.
的單調區(qū)間；
，且
，求
的取值范圍．
是自然對數的底數）
時，求函數
的極大值和極小值；
時，
恒成立，求
的取值范圍.
使得
≥0成立，求
的范圍 
＞1時，在（1）的條件下，
成立
其中
為自然對數的底數， 
.
，求函數
的最值；
，都有
成立，求
的取值范圍.
.
時，
恒成立，求實數
的取值范圍；
，
的取值范圍．
。
，求函數
的單調遞減區(qū)間；
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
時，