Question

（本小題12分）

如圖，曲線是以原點為中心，以、為焦點的橢圓的一部分，曲線 是以為頂點，以為焦點的拋物線的一部分，是曲線和的交點，且為鈍角，若，．

（I）求曲線和所在的橢圓和拋物線的方程；

（II）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線、依次交于、、、四點（如圖），若為的中點，為的中點，問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）橢圓的方程為，拋物線的方程為（2）是定值3

解析:

（I）設橢圓方程為，拋物線方程為，過作垂直于軸的直線，即拋物線準線，作垂直于該準線，作軸于點，則由拋物線的定義得

所以

所以，，

由，得，

所以橢圓的方程為，拋物線的方程為．    5分

（II）設，，，

由已知得直線的斜率一定存在，故可設直線的方程為

由，得

得，                      7分

同理，由，得

得，                                 9分

所以

，為定值．           12分