Question

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是AC的中點(diǎn)，AB₁⊥BC₁，則平面DBC₁與平面CBC₁所成的角為(　　)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

B

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為y軸和z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a，側(cè)棱長(zhǎng)為2b，
則A(0,0,0)，C(0,2a,0)，D(0，a,0)，B(a，a,0)，C₁(0,2a,2b)，B₁(a，a,2b)．
由⊥，得·＝0，即2b²＝a².
設(shè)n₁＝(x，y，z)為平面DBC₁的一個(gè)法向量，
則n₁·＝0，n₁·＝0.
即又2b²＝a²，令z＝1，
解得n₁＝(0，－，1)．
同理可求得平面CBC₁的一個(gè)法向量為n₂＝(1，，0)．
利用公式cos θ＝＝，得θ＝45°.