Question

（選做） 
設(shè)關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=anx2-6an+1x+2(n∈N*)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)（α，0），（β，0），且滿足α-αβ+β=3．
（I）試用a_n表示a_n+1；
（II）當(dāng)a₁=

7

6

時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)韋達(dá)定理，得α+β=

6an+1

an

，αβ=

2

an

，代入α-αβ+β=3．即可得出用a_n表示a_n+1的關(guān)系式．
（II）由（I）求出an+1-

2

3

=

1

2

an-

1

3

=

1

2

(an-

2

3

)，構(gòu)造出數(shù)列{an-

2

3

}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，通過求出數(shù)列{an-

2

3

}的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（I）根據(jù)韋達(dá)定理，得α+β=

6an+1

an

，αβ=

2

an

由α-αβ+β=3
得6•

an+1

an

-

2

an

=3
故an+1=

1

2

an+

1

3

（3分）
（II）因?yàn)?span id="8gkguea" class="MathJye">an+1-

2

3

=

1

2

an-

1

3

=

1

2

(an-

2

3

)
所以

an+1- 2 3

an- 2 3

=

1

2

所以數(shù)列{an-

2

3

}是公比為

1

2

的等比數(shù)列（8分）
因?yàn)楫?dāng)a1=

7

6

時(shí)，a1-

2

3

=

1

2

所以數(shù)列{an-

2

3

}的通項(xiàng)公式an-

2

3

=

1

2

•(

1

2

)n-1
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

2

3

+

1

2n

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式求解，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、推理計(jì)算能力．