Question

已知k＞0，函數f(x)=x3-3x+k，g(x)=

2kx-k

x2+2

（1）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），求k的取值范圍；
（2）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），等價于f（x）_min≥g（x）_max，進而轉化為函數的最值問題；
（2）存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價于f（x）_min＜g（x）_max，進而轉化為函數的最值問題．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當x∈[-1，1]時，f′（x）≤0，所以f（x）在[-1，1]上單調遞減，f（x）_min=f（1）=k-2；
g′（x）=

-2k(x2-x-2)

(x2+2)2

=

-2k(x-2)(x+1)

(x2+2)2

，
當x∈[-1，1]時，g′（x）≥0，所以g（x）在[-1，1]上單調遞增，g（x）_max=g（1）=

k

3

．
對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），等價于f（x）_min≥g（x）_max，
即k-2≥

k

3

，解得k≥3．
所以k的取值范圍是[3，+∞）．
（2）由（1）知：f（x）在[-1，1]上單調遞減，f（x）_min=f（1）=k-2；
g（x）在[-1，1]上單調遞增，g（x）_max=g（1）=

k

3

．
存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價于f（x）_min＜g（x）_max，
即k-2＜

k

3

，解得0＜k＜3．
所以k的取值范圍是（0，3）．

點評：本題為不等式恒成立問題，解決的基本思路是轉化為函數最值問題處理，從而可用導數解決．本題注意分析兩問間的“否定”關系．