Question

已知函數(shù)，其中為常數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù),使的極大值為?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）不存在.

試題分析：（1）由題意，而曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，因此先求導(dǎo)數(shù)，，得，故切線方程為；（2）這種存在性命題都是先假設(shè)存在，然后去求參數(shù)的值，如能求得，則存在，如求不出，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論就是不存在，利用導(dǎo)數(shù)公式可得，極值點(diǎn)是使的點(diǎn)，本題中可得，由于已知條件是，可分類(lèi)討論，時(shí)，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，，通過(guò)討論在上的符號(hào)，確定出的單調(diào)性，也即確定出極大值點(diǎn)有，極大值為，接下來(lái)考慮的是能否等于2，解方程是不可能的（可以猜測(cè)計(jì)算出），可討論函數(shù)的單調(diào)性，確定其值域或最值。，因此在單調(diào)遞增，從而，故無(wú)解，不存在.
試題解析：（1），，，     1分
，     3分
則曲線在處的切線方程為.     5分
（2）
的根為，     6分
，
當(dāng)時(shí)，，在遞減，無(wú)極值；   8分
當(dāng)時(shí)，，在遞減，在遞增；
為的極大值，     10分
令，，
在上遞增，，
不存在實(shí)數(shù)，使的極大值為.     13分