Question

已知數列{a}中,a=2,前n項和為S,且S=.
(1)證明數列{a_n+1-a_n}是等差數列,并求出數列{a_n}的通項公式
(2)設b_n=,數列{b_n}的前n項和為T_n,求使不等式T_n>
對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值

Answer 1

（Ⅰ）a_n=n(n∈N^*) ；（Ⅱ）k的最大值為18；

(1)由題意,當n=1時,a₁=S₁=,則a₁=1,a₂=2,則a₂-a₁=1,
當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=-=[na_n-(n-1)a_n-1+1]a_n+1=[(n+1)a_n+1-na_n+1]      
則a_n+1-a_n=[(n+1)a_n+1-2na_n+(n-1)a_n-1],
即(n-1)a_n+1-2(n-1)a_n+(n-1)a_n-1=0,
即a_n+1-2a_n+a_n-1="0,  " 即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
則數列{a_n+1-a_n}是首項為1,公差為0的等差數列.
從而a_n-a_n-1=1,,則數列{a_n}是首項為1,公差為1的等差數列,
所以,a_n=n(n∈N^*)              
(2)b_n===(- )
所以,T_n=b₁+b₂+…+b_n=[(1-)+(-)+…+(-)]
=(1-)=                   
由于T_n+1-T_n=-=>0,
因此T_n單調遞增,故T_n的最小值為T₁=
令>,得k<19,所k的最大值為18