Question

（2011•浦東新區三模）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．
已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F₁、F₂，拋物線M：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F₂，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的方程；
（3）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長為連續的自然數．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，所以可求出a，b的關系，當m=1時，可知拋物線的方程，進而求出拋物線的準線方程，因為拋物線M：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，所以可以得到c的值，再根據橢圓中a，b，c的關系，即可求出橢圓方程．
（2）設出直線l的點斜式方程，與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出弦|AB|的長，因為弦長|AB|等于△PF₁F₂的周長，
可求出直線l的斜率，進而求出直線l的方程．
（3）先假設存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長為連續的自然數．則可用含m的方程表示橢圓與拋物線，聯立，解得P點坐標，利用焦半徑公式求出△PF₁F₂的三邊長，再根據假設求m，若能求出，則假設正確，若求不出，則假設不正確．

解答：解：（1）設橢圓的實半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，
當m=1時，由題意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）依題意知直線l的斜率存在，設l：y=k（x-1），由

y2=4x y=k(x-1)

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由直線l與拋物線M有兩個交點，可知k≠0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得x1+x2=

2k2+4

k2

，則|AB|=x1+x2+2=4•

1+k2

k2

（6分）又△PF₁F₂的周長為2a+2c=6，所以4•

1+k2

k2

=6，
解得k=±

2

，從而可得直線l的方程為2x±

2

y-2=0
（3）假設存在滿足條件的實數m，
由題意得c=m，a=2m⇒b²=3m²，所以橢圓C的方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1
聯立

x 2   4m2 + y 2   3m2 =1 y2=4mx

(m＞0)解得x0=

2m

3

，y0=±

2 6 m

3

即P(

2m

3

，±

2 6 m

3

)．
所以|PF2|=x0+m=

5m

3

，|PF1|=4m-|PF1|=

7m

3

，|F₁F₂|=2m，
即△PF₁F₂的邊長分別為

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m，顯然|PF₂|＜|F₁F₂|＜|PF₁|，
所以

5m 3 =2m-1 7m 3 =2m+1

⇒m=3，故當m=3時，使得△PF₁F₂的邊長為連續的自然數．

點評：本題主要考查了橢圓方程的求法，直線與橢圓位置關系的判斷．