Question

如圖，已知點A（0，2）和拋物線y²=x+4上兩點B、C，使得AB⊥BC，求點C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)B（y₁²-4，y₁）、C（y²-4，y），表示出直線AB的斜率，根據(jù)AB⊥BC可知直線BC的斜率，進而把直線AB方程與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于等于0求得y的范圍．

解答：解：設(shè)B（y₁²-4，y₁）、C（y²-4，y），顯然y₁²-4≠0，故k_AB=

y1-2

y12-4

=

1

y1+2

由于AB⊥BC，∴k_BC=-（y₁+2），從而

y-y1=-(y1+2)[x-(y12-4)] y2=x+4

消去x，注意到y(tǒng)≠y₁，得（2+y₁）（y+y₁）+1=0⇒y₁²+（2+y）y₁+（2y+1）=0，∵
由△≥0，解得y≤0或y≥4，
當(dāng)y=0時，點B的坐標(biāo)為（-3，-1），當(dāng)y=4時，點B的坐標(biāo)為（5，-3），均滿足題意，
故點C的縱坐標(biāo)的取值范圍是y≤0或y≥4．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常需借助韋達定理和判別式來解決問題．